牛顿插值多项式 (2)

时间:2020-07-23

连结:牛顿插值多项式(1)

一样从这个问题开始

给定平面上三点 \(A(1,7)\),\(B(2,6)\) ,\(C(3,11)\),求图形通过这三点的二次多项式。

我们知道基于牛顿插值多项式,可以假设所求函数 \(f(x)\)为

\(f(x) = f(1) + a(x – 1) + b(x – 1)(x – 2)\)

通常开头这个形式就是初学者亟需跨越的门槛。本文试图利用学生已经拥有的多项式知识,提供一个教学上可行的引导,尚请方家不吝指教。至于学生需要知道什幺多项式的知识呢?只要因式定理即可。

複习一下   因式定理

设 \(f(x)\) 为多项式,\(ax-b\) 为一次多项式。

\(f\left( {\frac{b}{a}} \right) = 0 \Leftrightarrow\) 是 \(f(x)\) 的因式。

简言之,只要有一次因式,就表示多项式的值为 \(0\)。例如,多项式 \(f(x)\) 有一次因式 \(x+2\),代表 \(f(-2)=0\)。反之,若多项式 \(f(x)\) 满足 \(f(1)=0\),代表 \(f(x)\) 有 \(x-1\) 的因式。

进一步推广,易知下面这个重要的性质:

若 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 是 \(n\) 个不同的实数,
且多项式 \(f(x)\) 满足 \(f\left( {{a_1}} \right) = f\left( {{a_2}} \right) =\cdots= f\left( {{a_n}} \right) = 0\),
则 \(\left( {x – {a_1}} \right)\left( {x – {a_2}} \right) \cdots \left( {x – {a_n}} \right)\) 是 \(f(x)\) 的因式。

现在让我们回到开始的问题上。显然图形过这三点的二次函数 \(f(x)\) 满足 \(f(1)=7,f(2)=6,f(3)=11\)。如何求这样的二次函数 \(f(x)\) 呢?虽然,我们可以设 \(f(x)=ax^2+bx+c\),将三个条件代入求得 \(a,b,c\)。但这不是我们的目标。

不过,这却让我们知道:一般而言,已知三点,能求的是二次多项式;更一般而言,知道 \(n+1\) 个点,能求的最低次数的多项式为 \(n\) 次多项式。

我们换个角度来考虑上面的问题,若只考虑一个点呢?例如,点 \(A(1,7)\)。那幺,满足的多项式函数 \(f_1(x)\) 是什幺?首先,\(f_1(x)\) 应该是零次多项式,也就是常数多项式。因此,不难猜出结果:\(f_1(x)=7\)。

接下来,若再增加一个点呢?点 \(B(2,6)\)。为了和前面的函数区别,我们称同时满足点 \(A(1,7)\) 和点 \(B(2,6)\) 的多项式函数为 \(f_2(x)\)。那幺 \(f_2(x)\),应该是一次函数吧!并且,它满足 \(f_2(1)=7=f_1(1)\) 与 \(f_2(2)=6\)。

如此一来,\(f_2(x)\) 会是什幺样子呢?首先,\(f_2(1)=7=f_1(1)\),且 \(f_1(x)=7\) 是零次多项式,我们可以合理猜测 \(f_2(x)=f_1(x)+Q_1(x)\),其中 \(Q_1(x)\) 必为一次多项式,且满足 \(Q_1(1)=0\),才能符合 \({f_2}(1) = {f_1}(1) + {Q_1}(1) = 7 + 0 = 7\) 的条件。

因此,由因式定理知,可令

\({Q_1}(x) = a(x – 1) \Rightarrow {f_2}(x) = {f_1}(x) + {Q_1}(x) = 7 + a(x – 1)\)

将 \(f_2(2)=6\) 代入,得 \(7+a(2-1)=6\Rightarrow a=-1\)。所以,满足 \(f_2(1)=7\) 与 \(f_2(2)=6\) 的一次函数为 \({f_2}(x) = {f_1}(x) – (x – 1) = 7 – (x – 1)\)。

继续相同的程序,再增加点 \(C(3,11)\),那幺,同时满足这三个点的函数 \(f_3(x)\) 如何决定呢?

同样地,我们可以知道 \(f_3(x)\) 应当是二次多项式函数。同时,它也满足 \({f_3}(1) = {f_2}(1) = 7\),\({f_3}(2) = {f_2}(2) = 6\),以及 \(f_3(3)=11\)。因此,\({f_3}(x) = {f_2}(x) + {Q_2}(x)\),其中 \(Q_2(x)\) 必为二次多项式,且满足 \(Q_2(1)=Q_2(2)=0\)。

由因式定理的推广性质,可令 \(Q_2(x)=b(x-1)(x-2)\),

则 \({f_3}(x) = {f_2}(x) + {Q_2}(x) = 7 – (x – 1) + b(x – 1)(x – 2)\)

将 \(f_3(3)=11\) 代入,得 \(11=7-(3-1)+b(3-1)(3-2)\Rightarrow b=3\),

因此,满足 \(f_3(1)=7\),\(f_3(2)=6\),和 \(f_3(3)=11\) 的二次函数 \(f_3(x)\) (也是文章开头问题所求的函数 \(f(x)\))为 \(f(x) = {f_3}(x) = 7 – (x – 1) + 3(x – 1)(x – 2)\)

观察上式,不难发现 \(f(x)\) 由三个单项相加而成 \(f(x)=f_1(x)+Q_1(x)+Q_2(x)\),
其中 \(f_1(1)=7,Q_1(1)=0,Q_2(1)=Q_2(2)=0\)。

回顾整个寻找 \(f(x)\) 的过程:

逐一加入条件纳入考虑,先是 \(f(1)=7\),接着 \(\left\{ \begin{array}{l} f(1) = 7\\ f(2) = 6 \end{array} \right.\),再来 \(\left\{ \begin{array}{l} f(1) = 7\\ f(2) = 6\\ f(3) = 11 \end{array} \right.\)。

增加条件的结果,多项式次数会提高,所以添加单项是必要的。但又要保持原条件成立,

添加的每个单项必须不影响原有条件:
\(\left\{ \begin{array}{l} f(1) = 7 \leftrightarrow {Q_1}(1) = 0\\ f(2) = 6 \end{array} \right.\);\(\left\{ \begin{array}{l} f(1) = 7 \leftrightarrow {Q_2}(1) = 0\\ f(2) = 6 \leftrightarrow {Q_2}(2) = 0\\ f(3) = 11 \end{array} \right.\)。

由因式定理,\({Q_1}(x) = a(x – 1)\) ,\({Q_2}(x) = b(x – 1)(x – 2)\) 自然就出现,而牛顿插值多项式的形式也就底定。此外,由上述说明也不难发现,随着我们考虑加入条件的次序不同,假设的多项式函数也会不同。例如,若是 \(f(3) = 11 \to f(2) = 6 \to f(1) = 7\),则 \(f(x)\) 会假设为 \(f(x) = f(3) + p(x – 3) + q(x – 3)(x – 2)\)。

更棒的是,顺着这样的思路,读者应该也发现牛顿插值多项式的形式对于增加新的条件,处理上方便不少。例如,我们在原有的\(A(1,7)\),\(B(2,6)\),\(C(3,11)\) 三点,再加入新的观测资料点 \(D(-1,28)\),请求出图形满足这四点的最低次多项式函数 \(g(x)\)?有没有办法在已知函数 \(f(x)\) 的基础上,求出 \(g(x)\) 呢?

首先,\(g(x)\) 应该是个三次多项式。由于满足 \(g(1) = f(1) = 7\),\(g(2) = f(2) = 6\),\(g(3) = f(3) = 11\)。承上讨论,我们可设 \(g(x) = f(x) + c(x – 1)(x – 2)(x – 3)\),将 \(g(-1)=28\) 代入,可得 \(c=-2\)。因此,

\(\begin{array}{ll}g(x)& = f(x) – 2(x – 1)(x – 2)(x – 3) \\&= 7 – (x – 1) + 3(x – 1)(x – 2) – 2(x – 1)(x – 2)(x – 3)\end{array}\)

了解牛顿插值多项式的形式所蕴涵的意义后,应该就能掌握牛顿插值多项式的形式,进而求出待定的係数。然而,在〈牛顿插值多项式(1)〉中,我们曾谈及牛顿早注意到插值多项式的係数有其运算规律(只是他没有交待如何得到)。在下一篇文章〈牛顿插值多项式(3)〉中,将介绍目前数值分析中有关牛顿插值多项式係数的运算规则,以及常用的简便算法。

连结:牛顿插值多项式(3)

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