牛顿法 ( Newton’s Method )

时间:2020-07-23


在2008年上映的美国电影《决胜21点》中,教授米奇 (Mickey Rosa) 请同学们解释「牛顿法」及其应用,此时班 ( Ben Campbell ) 却语出惊人说:「牛顿剽窃了拉福生的方法。

站在巨人肩上的牛顿是剽窃者?这是真的吗?

所谓的「牛顿法」( Newton’s Method ) 是指求解方程式 \(f(x)=0\) 的根之叠代法 (Iterative Method),又称为「牛顿–拉福生演算法」( Newton-Raphson Algorithm)。

牛顿法 ( Newton’s Method )

设 \(f(x)\) 是可微分的函数,

令 \(s\) 为 \(f(x)=0\) 的根,

考虑切线 \(L:y-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n)\)

与 \(x\) 轴的交点 \((x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},0)\) ,

当 \(x_n\) 很接近 \(s\),

\(x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) 比 \(x_n\) 更接近 \(S\) 

故 \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)

此一等式即为求解 \(f(x)=0\) 的「牛顿法」。

虽然「牛顿法」通常可以找出根 \(s\) 的近似值,但要注意其收敛性的罩门。
接着,我们分别检视牛顿和拉福生的方法。
西元1669年夏天,
牛顿 ( Issac Newton, 1642-1727 ) 在剑桥写下方程式 \(x^3-2x-5=0\) 的解法︰

假设 \(x^3-2x-5=0\) 是可解的︰并且令 \(2\) 小于所求的根,则取 \(2+p=x\) 

并且将它代入方程式,结果产生新的方程式 \({p^3} + 6{p^2} + 10p – 1 = 0\) ,

此根 \(p\) 为所寻求被加到商数的数︰

特别地 (当 \(p^3+6p^2\) 在说明为很小而被忽略时)

\(10p-1=0\) 或 \(p=0.1\) 是非常接近真正的值;

因此,我在商数的地方写下 \(0.1\) 并且假设 \(0.1+q=p\) 

将它代入 \({p^3} + 6{p^2} + 10p – 1 = 0\) ,

如同之前,产生 \({q^3} + 6.3{q^2} + 11.23q + 0.061 = 0\) 。

而且因为 \(11.23q + 0.0061[ = 0]\) 很接近实际的 \(q\) 或几乎 \(q=-0.0054\),

我在商数的最下面写下 \(-0.0054\)。

同样地,假设 \(-0.0054+r=q\) ,如同之前的方法代换,继续运算到满意为止。

拉福生 ( Joseph Raphson, 1648-1715 ) 在1690年所着作的《通用方程分析》(Analysis Aequationum Universalis) 中,给出解方程式  \(ba-a^3=c\) 的根 \(a\) 之方法︰

假设 \(g+z=a\),

所以 \(bg – {g^3} + (b – 3{g^2})z – 3g{z^2} – {z^3} = ba – {a^3} = c\),

因此 \((b – 3{g^2})z – 3g{z^2} – {z^3} = c + {g^3} – bg\) ,

\( + z – \frac{{3g{z^2} + {z^3}}}{{b – 3{g^2}}} = \frac{{c + {g^3} – bg}}{{b – 3{g^2}}} =+ x\) ,

由收敛定理,我们得到 \( + z =+ x + \frac{{3g{z^2} + {g^3}}}{{b – 3{g^2}}}\),并且两边加上 \(g\)

产生 \(g + z = a = g + x + \frac{{3g{z^2} + {z^3}}}{{b – 3{g^2}}}\)。

但是这新的 \(g=g+x\) 比先前的 \(g\) 增加了 \(x\),比 \(a\) 少了 \(\frac{{3g{z^2} + {z^3}}}{{b – 3{g^2}}}\) ,证明完毕。

两人所发表的方法有所不同。不过值得注意的是,拉福生亦是伦敦皇家学会的会员,在1690年代早期,曾在剑桥与牛顿接触过,当时他是牛顿与莱布尼兹 ( Leibniz,1647-1716) 微积分优先权论战的牛顿支持者。

至于牛顿获得叠代法的桂冠是否实至名归?其实,两人的解法都没有涉及微分的概念。虽然拉福生所导出新的 \(g\) 值 \(g + \frac{{c + {g^3} – bg}}{{b – 3{g^2}}}\) 与微分公式 \({x_{n + 1}} = {x_n} – \frac{{f({x_n})}}{{f'({x_n})}}\) 是相容的,但他并没有洞察出这个公式。

直到1740年,数学家辛普森 ( Thomas Simpson, 1710-1761) 才使用微分的形式来操作。早期在十八世纪的数学家们总能小心区分牛顿与拉福生的方法,但法国数学家傅立叶 ( Joseph Fourier, 1768-1830 )在着作中,将使用微分符号的叠代法描述为「牛顿法」,在当时傅立叶的着作颇受好评,时至今日,我们也沿用「牛顿法」一词。

参考资料

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